Lema 1

Enunciado

Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{B}$ una base para una topología sobre $X$. Entonces $\mathcal{T}(\mathcal{B})$ coincide con la colección formada por todas las uniones de elementos de $\mathcal{B}$^[1].

Demostración

Se quiere probar que $\mathcal{T}(\mathcal{B})=\bigcup _{B\in \mathcal{B}}B=\bigcup _{x\in U}{B}_x$:

$(⟹)$ Tomamos $U\in \mathcal{T}(\mathcal{B})$, entonces se tiene que $\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }{B}_x\in \mathcal{B}$ tal que $x\in B_x\subset U⟹U=\bigcup _{x\in U}{B}_x$.

$(⟸)$ Tenemos $U=\bigcup _{i\in I}{B}_i$, por lo que si $x\in U$ entonces $x\in B_{i_0}\subset U$.